Con la potencia se inicia el descubrimiento de un nuevo concepto geométrico que, junto con la inversión, tiene como aplicación práctica la resolución de problemas de tangencias.
El término potencia como concepto geométrico fue introducido por el matemático suizo Jakob Steiner (1796-1863), y se basa en el producto de dos segmentos.
Mediante la potencia aprenderás nuevos lugares geométricos, como son el eje radical y el centro radical.
Recuerda: la potencia es imprescindible para la comprensión de ciertas partes de la Geometría. A medida que profundices en esta materia, te darás cuenta de su importancia.
Se llama potencia de un punto P respecto de una circunferencia al valor constante del producto de las distancias entre dicho punto y los puntos de intersección determinados en la circunferencia por cualquier recta secante (o tangente) que pase por P.
Dado un punto P y una circunferencia, para determinar la potencia (de P respecto de la circunferencia), se procede del siguiente modo:
Para demostrar que la expresión es cierta, seguiremos los siguientes pasos:
Dado un punto P y una circunferencia, trazamos la recta secante t que pasa por el centro de la circunferencia y aplicamos potencia al punto P:
p = PA · PB = (d − r) · (d + r)Efectuando los paréntesis, se tiene:
p = d2 + dr − dr − r2Y simplificando:
p = d2 − r2Considerando ahora las distintas posiciones que un punto P puede ocupar en el plano en relación con la circunferencia, se pueden distinguir cuatro casos, calculando en cada uno de ellos el valor de la potencia:
De todos estos casos, el que no conviene olvidar es el n.º 3 (la potencia es cero cuando P está sobre la circunferencia). Esta propiedad va a ser utilizada en el proceso de la determinación del eje radical, que veremos a continuación.
Dado un punto P, una circunferencia de centro O y una recta s tangente trazada desde P, sabemos (según lo estudiado en Tangencias) que la recta s es tangente a la circunferencia cuando el radio que pasa por su punto de tangencia forma 90º con la recta.
A partir de esta afirmación demostraremos por potencia que lo anteriormente expuesto es cierto.
Aplicando potencia del punto P a la circunferencia, se tiene:
p = PT · PT′Ahora bien, como PT = PT′, la expresión anterior se transforma en:
p = PT2 (*)Teniendo en cuenta que:
p = d2 − r2Sustituyendo el valor de p en la expresión (*), se tiene:
PT2 = d2 − r2Expresión que se corresponde con el teorema de Pitágoras de un triángulo rectángulo, quedando así demostrado que el ángulo en T del triángulo TPO es de 90º.
Se denomina eje radical de dos circunferencias a la recta lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen con la condición de tener igual potencia con respecto a ambas circunferencias.
El eje radical es siempre perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias; por tanto, para su determinación será suficiente con conocer un punto de ella.
En función de la posición relativa que puedan ocupar las circunferencias en el plano, se pueden presentar tres casos: secantes, tangentes y exteriores.
Para determinar el eje radical hay que tener en cuenta que todos los puntos situados sobre la circunferencia tienen potencia cero; por tanto, bastará con unir dos puntos de potencia cero que pertenezcan a ambas circunferencias.
Dadas dos circunferencias de centros O1 y O2, el proceso a seguir es:
Se denomina centro radical de tres circunferencias al punto que tiene la propiedad de tener igual potencia con respecto de cada una de las circunferencias.
Para determinar el centro radical, hallamos los ejes radicales de las circunferencias dadas combinándolas de dos en dos. Donde se corten estos ejes radicales se obtiene el centro radical Cr.
Dicho centro será impropio (está en el infinito) cuando los ejes radicales de los pares de circunferencias sean paralelos, situación que se da cuando los centros de las circunferencias están alineados.
Cuando las circunferencias no sean secantes, habrá que introducir una circunferencia auxiliar.
Teniendo en cuenta que una circunferencia puede reducirse a un punto o a una recta, según que su radio sea cero o infinito respectivamente, vamos a determinar el centro radical en los siguientes casos particulares.
Dadas las circunferencias de centros O1, O2 y el punto O3, el proceso a seguir es:
Los datos son dos circunferencias de centros M y N y el punto T situado sobre la circunferencia de centro M. El proceso a seguir es:
Los datos son dos circunferencias de centros M y N, y la recta r tangente a la circunferencia de centro N. El proceso a seguir es: